Упр.1319 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Учитель раздал ученикам 27 карточек, на каждой из которых было написано целое число, и попросил вместо этого числа написать по очереди на доске куб этого числа или его квадрат. Возникающие одинаковые числа с доски стирались. Приведите пример исходного набора чисел, чтобы на доске в итоге оказалось наименьшее возможное количество чисел, если все исходные числа на карточках различны?

Чтобы два числа стерлись с доски, нужно, чтобы одно из них было квадратом, а другое — кубом одного и того же числа:

$$\left(n^2\right)^3=\left(n^3\right)^2=n^6.$$

Для каждого $n$ от $1$ до $9$ получаем пару чисел, которые совпадают:

$$1^2=1^3=1,$$
$$2^2=4,\quad 2^3=8,$$
$$3^2=9,\quad 3^3=27,$$
$$4^2=16,\quad 4^3=64,$$
$$5^2=25,\quad 5^3=125,$$
$$6^2=36,\quad 6^3=216,$$
$$7^2=49,\quad 7^3=343,$$
$$8^2=64,\quad 8^3=512,$$
$$9^2=81,\quad 9^3=729.$$

Всего таких пар 9, значит, стираются $18$ карточек. Тогда на доске останется

$$27-18=9$$

чисел — это наименьшее возможное количество.

Возьмём 9 чисел, не входящих в эти пары, например:

$$2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13.$$

Тогда исходный набор из 27 различных чисел можно составить так:

$$1,\ 4,\ 8,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 125,\ 216,\ 343,\ 512,\ 729,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 17.$$

При замене каждого числа на его квадрат или куб совпадут пары
$$1 \text{ и } 1,\ 2 \text{ и } 4,\ 3 \text{ и } 9,\ 4 \text{ и } 16,\ 5 \text{ и } 25,\ 6 \text{ и } 36,\ 7 \text{ и } 49,\ 8 \text{ и } 64,\ 9 \text{ и } 81,$$
и на доске останется 9 чисел.

Ответ

Наименьшее возможное количество чисел на доске — $9$. Например, исходный набор чисел:
$$1,\ 4,\ 8,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ 49,\ 64,\ 81,\ 125,\ 216,\ 343,\ 512,\ 729,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 7,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 17.$$