Упр.1317 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

x = (a — b)/(a + b), y = (b — c)/(b + c), z = (c — a)/(c + a)
верно равенство
(1 + х)(1 + у)(1 + z) = (1 — х)(1 — у)(1 — z).

Подробный ответ

По условию

$$x=\frac{a-b}{a+b},\quad y=\frac{b-c}{b+c},\quad z=\frac{c-a}{c+a},$$

где $$a+b\ne 0,\; b+c\ne 0,\; c+a\ne 0.$$

Найдём выражения $$1+x,\;1-x,\;1+y,\;1-y,\;1+z,\;1-z$$:

$$ 1+x=1+\frac{a-b}{a+b}=\frac{a+b+a-b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}, $$
$$ 1-x=1-\frac{a-b}{a+b}=\frac{a+b-a+b}{a+b}=\frac{2b}{a+b}, $$
$$ 1+y=1+\frac{b-c}{b+c}=\frac{b+c+b-c}{b+c}=\frac{2b}{b+c}, $$
$$ 1-y=1-\frac{b-c}{b+c}=\frac{b+c-b+c}{b+c}=\frac{2c}{b+c}, $$
$$ 1+z=1+\frac{c-a}{c+a}=\frac{c+a+c-a}{c+a}=\frac{2c}{c+a}, $$
$$ 1-z=1-\frac{c-a}{c+a}=\frac{c+a-c+a}{c+a}=\frac{2a}{c+a}. $$

Теперь перемножим:

$$ (1+x)(1+y)(1+z)=\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2b}{b+c}\cdot\frac{2c}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}. $$

Аналогично:

$$ (1-x)(1-y)(1-z)=\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{2c}{b+c}\cdot\frac{2a}{c+a} =\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}. $$

Следовательно,

$$ (1+x)(1+y)(1+z)=(1-x)(1-y)(1-z). $$