Упр.1310 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) y = |x + 2| + |x — 2|;
б) y = |x + 1| — |x — 1|.

а) Рассмотрим выражение $$y=|x+2|+|x-2|.$$

Разобьём числовую прямую на промежутки по точкам $$x=-2$$ и $$x=2$$.

Если $$x<-2$$, то

$$|x+2|=-(x+2), \quad |x-2|=-(x-2),$$

значит

$$y=-(x+2)-(x-2)=-2x.$$

Если $$-2\le x\le 2$$, то

$$|x+2|=x+2, \quad |x-2|=-(x-2),$$

поэтому

$$y=(x+2)-(x-2)=4.$$

Если $$x>2$$, то

$$|x+2|=x+2, \quad |x-2|=x-2,$$

следовательно

$$y=(x+2)+(x-2)=2x.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} -2x, & x<-2,\\ 4, & -2\le x\le 2,\\ 2x, & x>2. \end{cases} $$

График состоит из двух лучей и горизонтального отрезка $$y=4$$ на промежутке $$[-2;2]$$.

б) Рассмотрим выражение $$y=|x+1|-|x-1|.$$

Разобьём числовую прямую на промежутки по точкам $$x=-1$$ и $$x=1$$.

Если $$x<-1$$, то

$$|x+1|=-(x+1), \quad |x-1|=-(x-1),$$

значит

$$y=-(x+1)-\bigl(-(x-1)\bigr)=-(x+1)+(x-1)=-2.$$

Если $$-1\le x\le 1$$, то

$$|x+1|=x+1, \quad |x-1|=-(x-1),$$

поэтому

$$y=(x+1)-\bigl(-(x-1)\bigr)=(x+1)+(x-1)=2x.$$

Если $$x>1$$, то

$$|x+1|=x+1, \quad |x-1|=x-1,$$

следовательно

$$y=(x+1)-(x-1)=2.$$

Итак,

$$ y= \begin{cases} -2, & x<-1,\\ 2x, & -1\le x\le 1,\\ 2, & x>1. \end{cases} $$

График состоит из двух горизонтальных лучей и отрезка прямой $$y=2x$$ на промежутке $$[-1;1]$$.

Ответ

$$ \text{а) } y= \begin{cases} -2x, & x<-2,\\ 4, & -2\le x\le 2,\\ 2x, & x>2; \end{cases} \qquad \text{б) } y= \begin{cases} -2, & x<-1,\\ 2x, & -1\le x\le 1,\\ 2, & x>1. \end{cases} $$