Упр.1306 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Найдите члены пропорции $$x_1 : x_2 = x_3 : x_4$$, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

Подробный ответ

Обозначим члены пропорции через $$x_1, x_2, x_3, x_4.$$ Тогда по условию

$$x_1:x_2=x_3:x_4,\qquad x_1=x_2+6,\qquad x_3=x_4+5,$$
$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=793.$$

Из пропорции получаем

$$\frac{x_1}{x_2}=\frac{x_3}{x_4} \quad\Rightarrow\quad \frac{x_2+6}{x_2}=\frac{x_4+5}{x_4}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$x_4(x_2+6)=x_2(x_4+5)$$
$$x_2x_4+6x_4=x_2x_4+5x_2$$
$$6x_4=5x_2 \quad\Rightarrow\quad x_2=\frac{6}{5}x_4.$$

Подставим в сумму квадратов:

$$\left(x_4+\!5\right)^2+\left(\frac{6}{5}x_4\right)^2+\left(\frac{6}{5}x_4+6\right)^2+x_4^2=793.$$

Упростим:

$$x_4^2+10x_4+25+\frac{36}{25}x_4^2+\frac{36}{25}x_4^2+\frac{72}{5}x_4+36+x_4^2=793$$
$$\frac{122}{25}x_4^2+\frac{122}{5}x_4+61=793.$$

Умножим на $$25$$:

$$122x_4^2+610x_4+1525=19825$$
$$122x_4^2+610x_4-18300=0$$
$$61x_4^2+305x_4-9150=0.$$

Найдём корни:

$$D=305^2-4\cdot61\cdot(-9150)=93025+2232600=2325625=1525^2.$$

$$x_4=\frac{-305\pm1525}{122}.$$

Отсюда

$$x_4=10 \quad \text{или} \quad x_4=-15.$$

Тогда:

$$x_4=10 \Rightarrow x_2=\frac{6}{5}\cdot10=12,\quad x_1=12+6=18,\quad x_3=10+5=15;$$
$$x_4=-15 \Rightarrow x_2=\frac{6}{5}\cdot(-15)=-18,\quad x_1=-18+6=-12,\quad x_3=-15+5=-10.$$