Упр.1304 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — время, за которое первый слесарь мог бы выполнить всю работу один, а $$y$$ — время, за которое всю работу выполнил бы второй слесарь. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.

По условию первый слесарь тратит на 7 ч больше, значит

$$x=y+7,$$

или

$$\frac{1}{x}-7=\frac{1}{y}.$$

После того как оба выполнили половину работы, оставшуюся половину завершал один второй слесарь. Поэтому время выполнения всей работы в этом случае равно

$$\frac{1}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}+\frac{1}{2}\cdot y,$$

а если бы они работали вместе, то время было бы

$$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}.$$

По условию первое время на 4,5 ч больше второго:

$$\frac{1}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}+\frac{y}{2}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}+\frac{9}{2}.$$

Подставим $$y=\frac{x}{1-7x}$$ и решим уравнение относительно $$x$$:

$$ \frac{1}{2\left(x+\frac{x}{1-7x}\right)}-\frac{1}{x+\frac{x}{1-7x}}=\frac{9}{2}-\frac{1}{2x}+\frac{7}{2} $$

После преобразований получаем:

$$112x^2-32x+1=0.$$

Найдём корни:

$$D=32^2-4\cdot112\cdot1=1024-448=576,$$

$$x_{1,2}=\frac{32\pm24}{224}.$$