Упр.1303 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Заготовленную в карьере руду первый самосвал может вывезти на 3 ч быстрее, чем второй. Если треть руды вывезет первый самосвал, а потом оставшуюся часть вывезет второй, то будет затрачено на 7*1/3 ч больше, чем при одновременной работе обоих самосвалов. За сколько часов может вывезти руду каждый самосвал?
Пусть $$x$$ ч — время, за которое первый самосвал может вывезти всю руду, а $$y$$ ч — время второго самосвала. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.
По условию первый самосвал работает на 3 ч быстрее второго:
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-3.$$
Если сначала первый самосвал вывезет треть руды, а затем второй — оставшуюся часть, то затраченное время равно
$$\frac{1}{3}\cdot x+\frac{2}{3}\cdot y.$$
При одновременной работе обоих самосвалов вся руда будет вывезена за
$$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}.$$
По условию это время на $$7\frac{1}{3}=\frac{22}{3}$$ ч меньше, чем в первом случае, значит
$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}+\frac{22}{3}.$$
Из первого уравнения выразим $$x$$:
$$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-3=\frac{1-3y}{y}, \qquad x=\frac{y}{1-3y}.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\frac{1}{3}\cdot \frac{y}{1-3y}+\frac{2y}{3}=\frac{1}{\frac{1-3y}{y}+\frac{1}{y}}+\frac{22}{3}.$$
Упростим:
$$\frac{y}{3(1-3y)}+\frac{2y}{3}=\frac{y}{2-3y}+\frac{22}{3}.$$
После преобразований получаем квадратное уравнение:
$$75y^2-50y+3=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-50)^2-4\cdot 75\cdot 3=1600,$$
$$y_{1,2}=\frac{50\pm 40}{150}.$$
Тогда
$$y_1=\frac{1}{15}, \qquad y_2=\frac{3}{5}.$$
Проверим по формуле $$\frac{1}{x}=\frac{1}{y}-3$$:
при $$y=\frac{3}{5}$$ получаем $$\frac{1}{x}=\frac{5}{3}-3<0$$, это не подходит;
при $$y=\frac{1}{15}$$ получаем
$$\frac{1}{x}=15-3=12,$$
значит
$$x=\frac{1}{12}.$$
Следовательно, первый самосвал может вывезти всю руду за $$\frac{1}{\frac{1}{12}}=12$$ ч, а второй — за $$\frac{1}{\frac{1}{15}}=15$$ ч.
Ответ
12 ч и 15 ч.
