Упр.1301 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Из А в В и из В в А выехали одновременно два мотоциклиста. Первый прибыл в В через 2,5 ч после встречи, а второй прибыл в А через 1,6 ч после встречи. Сколько часов был в пути каждый мотоциклист?

Пусть $$t$$ ч — время до встречи. Тогда первый мотоциклист был в пути $$t+2{,}5$$ ч, а второй — $$t+1{,}6$$ ч.

Обозначим скорости мотоциклистов через $$x$$ и $$y$$ км/ч, а расстояние между городами через $$S$$ км. Тогда

$$ \frac{S}{x+y}=t,\qquad \frac{S}{x}=t+2{,}5,\qquad \frac{S}{y}=t+1{,}6 $$

Из последних двух равенств:

$$ x=\frac{S}{t+2{,}5},\qquad y=\frac{S}{t+1{,}6} $$

Подставим в первое уравнение:

$$ S=t(x+y)=t\left(\frac{S}{t+2{,}5}+\frac{S}{t+1{,}6}\right) $$

Разделим на $$S$$:

$$ 1=t\left(\frac{1}{t+2{,}5}+\frac{1}{t+1{,}6}\right) $$

$$ 1=t\cdot \frac{(t+1{,}6)+(t+2{,}5)}{(t+2{,}5)(t+1{,}6)} =t\cdot \frac{2t+4{,}1}{(t+2{,}5)(t+1{,}6)} $$

Умножим на $$ (t+2{,}5)(t+1{,}6) $$:

$$ (t+2{,}5)(t+1{,}6)=t(2t+4{,}1) $$

$$ t^2+4{,}1t+4=2t^2+4{,}1t $$

$$ t^2-4=0 $$

$$ t=2 $$

Тогда время в пути каждого мотоциклиста:

$$ t+2{,}5=2+2{,}5=4{,}5 $$

$$ t+1{,}6=2+1{,}6=3{,}6 $$

Ответ

$$4{,}5$$ ч и $$3{,}6$$ ч.