Упр.1297 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной $$50\ \text{м}$$ с интервалом $$1\ \text{с}$$. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в $$10\ \text{м}$$ от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через $$10\ \text{с}$$ после старта первого мальчика?

Пусть $$x$$ м/с — скорость первого мальчика, а $$y$$ м/с — скорость второго.

По условию второй мальчик стартовал на $$1$$ с позже и догнал первого в точке, находящейся в $$10$$ м от старта. Значит, к этому моменту первый бежал $$10$$ с, а второй — $$9$$ с:

$$\frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1$$

Кроме того, за время до встречи они вместе пробежали всю дорожку длиной $$50$$ м туда и обратно до точки встречи, то есть:

$$10x+9y=100$$

Из первого уравнения:

$$10y-10x=xy$$

Из второго:

$$10x=100-9y$$

Подставим это в первое уравнение:

$$10y-(100-9y)=y\left(10-\frac{100-9y}{10}\right)$$

Удобнее сразу выразить $$x$$ из системы:

$$x=10-0{,}9y$$

Подставим во второе уравнение:

$$10(10-0{,}9y)+9y=100$$

$$100-9y+9y=100$$

Получаем скорость второго мальчика:

$$y=\frac{20}{3}$$

Теперь найдём, на каком расстоянии от конца дорожки произошла встреча. За $$9$$ с второй мальчик пробежал:

$$9\cdot \frac{20}{3}=60 \text{ м}$$

Длина дорожки $$50$$ м, значит, после конца дорожки он пробежал ещё:

$$60-50=10 \text{ м}$$

Следовательно, встреча произошла в $$10$$ м от конца дорожки.

Ответ

$$10 \text{ м}$$