Упр.1295 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что функция у = v(x^2 + 2v2x + 2) + v(x^2 — 2v2x + 2), где -v2 ? x ? v2 линейная.

Преобразуем выражение:

$$ y=\sqrt{x^2+2\sqrt2x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt2x+2}. $$

Заметим, что

$$ x^2+2\sqrt2x+2=(x+\sqrt2)^2, \qquad x^2-2\sqrt2x+2=(x-\sqrt2)^2. $$

Тогда

$$ y=\sqrt{(x+\sqrt2)^2}+\sqrt{(x-\sqrt2)^2}=|x+\sqrt2|+|x-\sqrt2|. $$

Так как $$-\sqrt2 \le x \le \sqrt2,$$ то

$$ |x+\sqrt2|=x+\sqrt2, \qquad |x-\sqrt2|=\sqrt2-x. $$

Следовательно,

$$ y=x+\sqrt2+\sqrt2-x=2\sqrt2. $$

Значение функции постоянно и не зависит от $$x$$, значит функция линейная.

Ответ

$$y=2\sqrt2$$, функция линейная.