Упр.1295 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что функция $$y=\sqrt{x^2+2\sqrt{2}x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt{2}x+2}$$, где $$-\sqrt{2}\leq x\leq\sqrt{2}$$, линейная.

Преобразуем выражение:

$$y=\sqrt{x^2+2\sqrt2x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt2x+2}.$$

Заметим, что

$$x^2+2\sqrt2x+2=(x+\sqrt2)^2, \qquad x^2-2\sqrt2x+2=(x-\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{(x+\sqrt2)^2}+\sqrt{(x-\sqrt2)^2}=|x+\sqrt2|+|x-\sqrt2|.$$

Так как $$-\sqrt2 \le x \le \sqrt2,$$ то

$$|x+\sqrt2|=x+\sqrt2, \qquad |x-\sqrt2|=\sqrt2-x.$$

Следовательно,

$$y=x+\sqrt2+\sqrt2-x=2\sqrt2.$$

Значение функции постоянно и не зависит от $$x$$, значит функция линейная.

Ответ

$$y=2\sqrt2$$, функция линейная.