Упр.1293 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При каком значении а сумма квадратов корней уравнения х2 + (а — 1)х — 2а = 0 равна 9?

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=1-a,\qquad x_1x_2=-2a.$$

По условию сумма квадратов корней равна $9$, значит

$$x_1^2+x_2^2=9.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$ (1-a)^2-2(-2a)=9, $$

$$ 1-2a+a^2+4a=9, $$

$$ a^2+2a-8=0. $$

Решим квадратное уравнение:

$$ D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36, $$

$$ a=\frac{-2\pm 6}{2}. $$

Получаем:

$$ a_1=-4,\qquad a_2=2. $$

Проверим, при каких значениях уравнение имеет действительные корни.

При $a=-4$:

$$x^2-5x+8=0,\qquad D=25-32=-7<0,$$

действительных корней нет, значит это значение не подходит.

При $a=2$:

$$x^2+x-4=0,$$

действительные корни есть, и их сумма квадратов равна $9$.

Ответ

$$a=2.$$