Упр.1293 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. При каком значении $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ равна $$9$$?

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0.$$

По теореме Виета:

$$x_1+x_2=1-a,\qquad x_1x_2=-2a.$$

По условию сумма квадратов корней равна $$9$$, значит

$$x_1^2+x_2^2=9.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(1-a)^2-2(-2a)=9,$$

$$1-2a+a^2+4a=9,$$

$$a^2+2a-8=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-8)=36,$$

$$a=\frac{-2\pm 6}{2}.$$

Получаем:

$$a_1=-4,\qquad a_2=2.$$

Проверим, при каких значениях уравнение имеет действительные корни.

При $$a=-4$$:

$$x^2-5x+8=0,\qquad D=25-32=-7<0,$$

действительных корней нет, значит это значение не подходит.

При $$a=2$$:

$$x^2+x-4=0,$$

действительные корни есть, и их сумма квадратов равна $$9$$.

Ответ

$$a=2.$$