Упр.1291 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее значение выражения $$(a-1)(a-2)(a-5)(a-6)+9$$.

Сгруппируем множители:

$$(a-1)(a-2)(a-5)(a-6)+9=(a^2-7a+6)(a^2-7a+10)+9.$$

Введём замену:

$$b=a^2-7a.$$

Тогда

$$(a^2-7a+6)(a^2-7a+10)+9=(b+6)(b+10)+9.$$

Раскроем скобки:

$$(b+6)(b+10)+9=b^2+16b+60+9=b^2+16b+69.$$

Допишем до квадрата:

$$b^2+16b+69=(b+8)^2+5.$$

Так как квадрат неотрицателен, то

$$(b+8)^2+5 \ge 5.$$

Равенство достигается при $$b=-8$$, то есть при

$$a^2-7a=-8 \quad \Rightarrow \quad a^2-7a+8=0.$$

Это уравнение имеет действительные корни, значит минимальное значение действительно достигается.

Ответ

$$5$$