Упр.1291 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Найдите наименьшее значение выражения (а — 1) (а — 2) (а — 5) (а — 6) + 9.

Сгруппируем множители:

$$ (a-1)(a-2)(a-5)(a-6)+9=(a^2-7a+6)(a^2-7a+10)+9. $$

Введём замену:

$$ b=a^2-7a. $$

Тогда

$$ (a^2-7a+6)(a^2-7a+10)+9=(b+6)(b+10)+9. $$

Раскроем скобки:

$$ (b+6)(b+10)+9=b^2+16b+60+9=b^2+16b+69. $$

Допишем до квадрата:

$$ b^2+16b+69=(b+8)^2+5. $$

Так как квадрат неотрицателен, то

$$ (b+8)^2+5 \ge 5. $$

Равенство достигается при $$b=-8$$, то есть при

$$ a^2-7a=-8 \quad \Rightarrow \quad a^2-7a+8=0. $$

Это уравнение имеет действительные корни, значит минимальное значение действительно достигается.

Ответ

$$5$$