Упр.1290 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Решите уравнение (х2 — а2)2 = 4ах + 1 относительно х.

Преобразуем левую часть:

$$ (x^2-a^2)^2=\bigl((x+a)(x-a)\bigr)^2=(x+a)^2(x-a)^2. $$

Тогда уравнение принимает вид

$$ (x+a)^2(x-a)^2=4ax+1. $$

Заметим, что

$$ (x+a)^2-(x-a)^2=4ax, $$

поэтому

$$ (x+a)^2(x-a)^2=(x+a)^2-(x-a)^2+1. $$

Введём замену:

$$ b=(x+a)^2,\qquad c=(x-a)^2,\qquad b\ge 0,\ c\ge 0. $$

Тогда получаем

$$ bc=b-c+1. $$

Перенесём всё в одну сторону:

$$ bc+c=b+1 $$

$$ c(b+1)=b+1. $$

Так как $$b+1>0$$, то

$$ c=1. $$

Следовательно,

$$ (x-a)^2=1, $$

откуда

$$ x-a=1 \quad \text{или} \quad x-a=-1. $$

Значит,

$$ x=a+1 \quad \text{или} \quad x=a-1. $$

Ответ

$$x=a\pm 1.$$