Упр.1290 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Решите уравнение $$(x^2-a^2)^2=4ax+1$$ относительно $$x$$.

Преобразуем левую часть:

$$(x^2-a^2)^2=\bigl((x+a)(x-a)\bigr)^2=(x+a)^2(x-a)^2.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$(x+a)^2(x-a)^2=4ax+1.$$

Заметим, что

$$(x+a)^2-(x-a)^2=4ax,$$

поэтому

$$(x+a)^2(x-a)^2=(x+a)^2-(x-a)^2+1.$$

Введём замену:

$$b=(x+a)^2,\qquad c=(x-a)^2,\qquad b\ge 0,\ c\ge 0.$$

Тогда получаем

$$bc=b-c+1.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$bc+c=b+1$$

$$c(b+1)=b+1.$$

Так как $$b+1>0$$, то

$$c=1.$$

Следовательно,

$$(x-a)^2=1,$$

откуда

$$x-a=1 \quad \text{или} \quad x-a=-1.$$

Значит,

$$x=a+1 \quad \text{или} \quad x=a-1.$$

Ответ

$$x=a\pm 1.$$