Упр.1288 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (x + yv2)(x — yv2) = 1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

Пусть

$$a=x+y\sqrt2,\qquad b=x-y\sqrt2.$$

Тогда данное уравнение имеет вид

$$ab=1.$$

Если пара $$x=3,\ y=2$$ является решением, то

$$3+2\sqrt2$$ и $$3-2\sqrt2$$ — взаимно обратные числа, потому что

$$\left(3+2\sqrt2\right)\left(3-2\sqrt2\right)=9-8=1.$$

Возведём эти множители в любую натуральную степень $$n$$:

$$\left(3+2\sqrt2\right)^n\left(3-2\sqrt2\right)^n=1.$$

При раскрытии скобок число $$\left(3+2\sqrt2\right)^n$$ имеет вид $$a_n+b_n\sqrt2$$, а число $$\left(3-2\sqrt2\right)^n$$ — вид $$a_n-b_n\sqrt2$$, где $$a_n$$ и $$b_n$$ — натуральные числа.

Тогда для каждой пары $$x=a_n,\ y=b_n$$ выполняется

$$\left(x+y\sqrt2\right)\left(x-y\sqrt2\right)=1.$$

Так как натуральных степеней бесконечно много, то и пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению, тоже бесконечно много.

Ответ

Существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих уравнению, например пары, получающиеся из разложения $$\left(3+2\sqrt2\right)^n$$ и $$\left(3-2\sqrt2\right)^n$$ при всех $$n\in\mathbb N$$.