Упр.1287 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида а + b корень 2, где а и b — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 1287 827

Пусть два числа имеют вид $$a+b\sqrt{2}$$ и $$c+d\sqrt{2}$$, где $$a,b,c,d$$ — рациональные числа.

1) Сумма:

$$ (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}. $$

Так как $$a+c$$ и $$b+d$$ — рациональные числа, то сумма имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

2) Разность:

$$ (a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})=(a-c)+(b-d)\sqrt{2}. $$

Здесь $$a-c$$ и $$b-d$$ — рациональные числа, значит, разность тоже имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

3) Произведение:

$$ (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd $$

$$ =(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}. $$

Коэффициенты $$ac+2bd$$ и $$ad+bc$$ рациональны, следовательно, произведение имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

4) Частное: пусть знаменатель не равен нулю, то есть $$c+d\sqrt{2}\neq 0$$.

Умножим дробь на сопряжённое выражение:

$$ \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}= \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}. $$

Тогда

$$ \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{c^2-2d^2} = \frac{ac-2bd+(bc-ad)\sqrt{2}}{c^2-2d^2}. $$

Если $$c+d\sqrt{2}\neq 0$$, то $$c^2-2d^2\neq 0$$, и потому

$$ \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}} = \frac{ac-2bd}{c^2-2d^2} + \frac{bc-ad}{c^2-2d^2}\sqrt{2}. $$

Оба коэффициента рациональны, значит, частное также имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

Следовательно, сумма, разность, произведение и частное чисел вида $$a+b\sqrt{2}$$ снова могут быть представлены в таком же виде.

Ответ

Сумма, разность, произведение и частное чисел вида $$a+b\sqrt{2}$$, где $$a$$ и $$b$$ — рациональные числа, снова имеют вид $$A+B\sqrt{2}$$.