Упр.1286 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите все пары натуральных чисел, удовлетворяющие уравнению $$x^2-y^2=69$$.

Преобразуем уравнение к разности квадратов:

$$x^2-y^2=69$$

$$(x-y)(x+y)=69$$

Разложим число $$69$$ на множители:

$$69=1\cdot 69=3\cdot 23$$

Так как $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то $$x-y>0$$ и $$x+y>0$$. Рассмотрим возможные пары множителей:

$$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=69 \end{cases} \qquad \begin{cases} x-y=3 \\ x+y=23 \end{cases}$$

1) Из системы

$$\begin{cases} x-y=1 \\ x+y=69 \end{cases}$$

складываем уравнения:

$$2x=70,\quad x=35$$

Тогда

$$y=35-1=34$$

2) Из системы

$$\begin{cases} x-y=3 \\ x+y=23 \end{cases}$$

складываем уравнения:

$$2x=26,\quad x=13$$

Тогда

$$y=13-3=10$$

Проверка:

$$35^2-34^2=69,\qquad 13^2-10^2=69$$

Ответ

$$(35;34),\ (13;10)$$