Упр.1285 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Пусть значениям аргумента х_1, х_2, х_3 и х_4 соответствуют значения функции у_1, у_2, у_3 и у_4. Докажите, что
(y_2 — y_1)/(y_3 — y_2) : (y_4 — y_1)/(y_4 — y_2) = (x_3 — x_1)/(x_3 — x_2) : (x_4 — x_1)/(x_4 — x_2).

Подробный ответ

Пусть

$$y=\frac{ax+b}{cx+d}, \qquad ad-bc\ne 0.$$

Тогда

$$y_i=\frac{ax_i+b}{cx_i+d}\quad (i=1,2,3,4).$$

Найдём разности:

$$ y_3-y_1=\frac{ax_3+b}{cx_3+d}-\frac{ax_1+b}{cx_1+d} =\frac{(ax_3+b)(cx_1+d)-(ax_1+b)(cx_3+d)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}. $$

Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем:

$$ y_3-y_1=\frac{(x_3-x_1)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)}. $$

Аналогично:

$$ y_3-y_2=\frac{(x_3-x_2)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)}, $$

$$ y_4-y_1=\frac{(x_4-x_1)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}, $$

$$ y_4-y_2=\frac{(x_4-x_2)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)}. $$

Теперь вычислим левую часть доказываемого равенства:

$$ \frac{y_3-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} = \frac{(y_3-y_1)(y_4-y_2)}{(y_3-y_2)(y_4-y_1)}. $$

Подставим найденные выражения:

$$ \frac{(x_3-x_1)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_1+d)} \cdot \frac{(x_4-x_2)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_2+d)} : \frac{(x_3-x_2)(ad-bc)}{(cx_3+d)(cx_2+d)} \cdot \frac{(x_4-x_1)(ad-bc)}{(cx_4+d)(cx_1+d)}. $$

Сокращая одинаковые множители, получаем:

$$ \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}. $$

Следовательно,

$$ \frac{y_2-y_1}{y_3-y_2}:\frac{y_4-y_1}{y_4-y_2} = \frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}. $$