Упр.1284 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

((p^2 — 1/q^2)^p (p — 1/q)^(q-p))/((q^2 — 1/p^2)^q(q + 1/p)^(p-q).
Укажите допустимые значения переменных.

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$ \frac{\left(p^2-\frac{1}{q^2}\right)^p\left(p-\frac{1}{q}\right)^{q-p}} {\left(q^2-\frac{1}{p^2}\right)^q\left(q+\frac{1}{p}\right)^{p-q}} $$

Разложим разности квадратов:

$$ p^2-\frac{1}{q^2}=\left(p-\frac{1}{q}\right)\left(p+\frac{1}{q}\right), \qquad q^2-\frac{1}{p^2}=\left(q-\frac{1}{p}\right)\left(q+\frac{1}{p}\right). $$

Тогда

$$ \frac{\left(p-\frac{1}{q}\right)^p\left(p+\frac{1}{q}\right)^p\left(p-\frac{1}{q}\right)^{q-p}} {\left(q-\frac{1}{p}\right)^q\left(q+\frac{1}{p}\right)^q\left(q+\frac{1}{p}\right)^{p-q}} = \frac{\left(p-\frac{1}{q}\right)^q\left(p+\frac{1}{q}\right)^p} {\left(q-\frac{1}{p}\right)^q\left(q+\frac{1}{p}\right)^p}. $$

Сгруппируем дроби:

$$ \left(\frac{p-\frac{1}{q}}{q-\frac{1}{p}}\right)^q \left(\frac{p+\frac{1}{q}}{q+\frac{1}{p}}\right)^p. $$

Преобразуем каждую дробь:

$$ \frac{p-\frac{1}{q}}{q-\frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq-1}{q}}{\frac{pq-1}{p}} = \frac{p}{q}, \qquad \frac{p+\frac{1}{q}}{q+\frac{1}{p}} = \frac{\frac{pq+1}{q}}{\frac{pq+1}{p}} = \frac{p}{q}. $$

Следовательно,

$$ \left(\frac{p}{q}\right)^q\left(\frac{p}{q}\right)^p = \left(\frac{p}{q}\right)^{p+q}. $$

Найдём допустимые значения переменных. Знаменатели не должны обращаться в нуль, поэтому:

$$ p\ne 0,\qquad q\ne 0,\qquad pq-1\ne 0,\qquad pq+1\ne 0. $$

То есть

$$ p\ne 0,\qquad q\ne 0,\qquad pq\ne 1,\qquad pq\ne -1. $$