Упр.1283 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Представьте многочлен х8 + х4 +1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

Представим многочлен $$x^8+x^4+1$$ в виде произведения, используя формулу разности квадратов:

$$ x^8+x^4+1=(x^8+2x^4+1)-x^4=(x^4+1)^2-x^4 $$

$$ (x^4+1)^2-x^4=(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) $$

Теперь разложим каждый множитель:

$$ x^4+1-x^2=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x) $$

$$ x^4+1+x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+1-x)(x^2+1+x) $$

Следовательно,

$$ x^8+x^4+1=(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x)(x^2+1-x)(x^2+1+x) $$

Ответ

$$ x^8+x^4+1=(x^2+1-\sqrt{3}x)(x^2+1+\sqrt{3}x)(x^2+1-x)(x^2+1+x) $$