Упр.1282 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

y = v(12 + 2v(35 + 2x — x^2)) — v(12 — 2v(35 + 2x — x^2)),
которые она принимает при целых х.

Обозначим

$$a=\sqrt{35+2x-x^2}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{12+2a}-\sqrt{12-2a}.$$

Возведём в квадрат:

$$ \begin{aligned} y^2&=\left(\sqrt{12+2a}-\sqrt{12-2a}\right)^2 \\ &=12+2a+12-2a-2\sqrt{(12+2a)(12-2a)} \\ &=24-2\sqrt{144-4a^2}. \end{aligned} $$

Так как $$a^2=35+2x-x^2,$$ получаем

$$ \begin{aligned} y^2&=24-2\sqrt{144-4(35+2x-x^2)} \\ &=24-2\sqrt{4(36-35-2x+x^2)} \\ &=24-4\sqrt{x^2-2x+1} \\ &=24-4|x-1|. \end{aligned} $$

Следовательно,

$$y=\sqrt{24-4|x-1|}=2\sqrt{6-|x-1|}.$$

Чтобы $$y$$ было целым, число $$6-|x-1|$$ должно быть полным квадратом. При целых $$x$$ возможны значения

$$6-|x-1|=0,\;1,\;4.$$

Тогда

$$ \begin{aligned} 6-|x-1|=0 &\Rightarrow y=2\sqrt{0}=0,\\ 6-|x-1|=1 &\Rightarrow y=2\sqrt{1}=2,\\ 6-|x-1|=4 &\Rightarrow y=2\sqrt{4}=4. \end{aligned} $$

Других целых значений функция при целых $$x$$ не принимает.

Ответ

$$0,\;2,\;4.$$