Упр.1281 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Найдите целые значения $$x$$, при которых функция $$y=\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}}$$ принимает целые значения.

Обозначим

$$a=\sqrt{91+6x-x^2}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{20+2a}-\sqrt{20-2a}.$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=\left(\sqrt{20+2a}-\sqrt{20-2a}\right)^2 =20+2a+20-2a-2\sqrt{(20+2a)(20-2a)}.$$

$$y^2=40-2\sqrt{400-4a^2}.$$

Так как $$a^2=91+6x-x^2,$$ получаем

$$y^2=40-2\sqrt{400-4(91+6x-x^2)} =40-2\sqrt{36-24x+4x^2}.$$

$$y^2=40-2\sqrt{4(x-3)^2} =40-4|x-3|.$$

Следовательно,

$$y=\sqrt{40-4|x-3|}=2\sqrt{10-|x-3|}.$$

Чтобы $$y$$ было целым, число $$10-|x-3|$$ должно быть полным квадратом. При этом

$$10-|x-3|\ge 0,$$

значит возможны значения

$$10-|x-3|=0,1,4,9.$$

Отсюда

$$|x-3|=10,9,6,1.$$

Решаем по случаям:

• $$|x-3|=1 \Rightarrow x=2,\ 4;$$
• $$|x-3|=6 \Rightarrow x=-3,\ 9;$$
• $$|x-3|=9 \Rightarrow x=-6,\ 12;$$
• $$|x-3|=10 \Rightarrow x=-7,\ 13.$$

Проверка области определения выполнена: для всех найденных значений подкоренные выражения неотрицательны.

Ответ

$$x\in\{-7,-6,-3,2,4,9,12,13\}.$$