Упр.1280 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Найдите три различные обыкновенные дроби вида x/(x+1), сумма которых равна натуральному числу. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 1280 827

Подробный ответ

Обозначим три дроби:

$$\frac{x}{x+1},\ \frac{y}{y+1},\ \frac{z}{z+1}.$$

Так как дроби вида $$\frac{t}{t+1}$$ должны быть различными и их сумма равна натуральному числу, то каждая из них лежит между $$0$$ и $$1$$, а значит сумма трёх таких дробей может быть только числом $$2$$.

Пусть одна из дробей равна $$\frac12$$. Тогда удобно взять $$x=1$$:

$$\frac{x}{x+1}=\frac12.$$

Тогда для двух остальных дробей получаем:

$$\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}=\frac32.$$

Пусть $$z=2$$. Тогда

$$\frac{z}{z+1}=\frac23,$$

и остаётся

$$\frac{y}{y+1}=\frac32-\frac23=\frac{9-4}{6}=\frac56.$$

Проверим, подходит ли такая дробь:

$$\frac{y}{y+1}=\frac56 \Rightarrow 6y=5y+5 \Rightarrow y=5.$$

Получаем три различные дроби:

$$\frac12,\ \frac23,\ \frac56.$$