Упр.1279 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Найдите все двузначные числа аb, где b > а, при которых значение дроби ab/(a+b) равно целому числу. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 8 makar8 1279 827

Пусть $$Z$$ — натуральное число, равное значению дроби:

$$\frac{10a+b}{a+b}=Z.$$

Тогда

$$10a+b=Z(a+b),$$

$$10a+b=Za+Zb,$$

$$a(10-Z)=b(Z-1).$$

Так как $$b>a$$, то

$$10-Z>Z-1,$$

$$11>2Z,$$

$$Z<5{,}5.$$

Значит, $$Z\in\{1,2,3,4,5\}.$$

1) $$Z=1$$

$$10a+b=a+b,$$

$$9a=0,$$

что невозможно для двузначного числа.

2) $$Z=2$$

$$a(10-2)=b(2-1),$$

$$8a=b.$$

Подходит $$a=1,\ b=8,$$ значит число $$18.$$

3) $$Z=3$$

$$a(10-3)=b(3-1),$$

$$7a=2b.$$

Подходит $$a=2,\ b=7,$$ значит число $$27.$$

4) $$Z=4$$

$$a(10-4)=b(4-1),$$

$$6a=3b,$$

$$2a=b.$$

Подходят пары:

$$a=1,\ b=2 \Rightarrow 12,$$

$$a=2,\ b=4 \Rightarrow 24,$$

$$a=3,\ b=6 \Rightarrow 36,$$

$$a=4,\ b=8 \Rightarrow 48.$$

5) $$Z=5$$

$$a(10-5)=b(5-1),$$

$$5a=4b.$$

Подходит $$a=4,\ b=5,$$ значит число $$45.$$

Ответ

$$12,\ 18,\ 24,\ 27,\ 36,\ 45,\ 48.$$