Упр.1278 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Найдите корни уравнения x^2 — 2x — 2/x + 1/x^2 — 13 = 0.

Преобразуем уравнение:

$$x^2-2x-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}-13=0.$$

Сгруппируем слагаемые:

$$x^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)+\frac{1}{x^2}-13=0.$$

Так как

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=x^2+2+\frac{1}{x^2},$$

то

$$x^2+\frac{1}{x^2}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2.$$

Подставим это в уравнение:

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-13=0,$$

$$\left(x+\frac{1}{x}\right)^2-2\left(x+\frac{1}{x}\right)-15=0.$$

Сделаем замену:

$$x+\frac{1}{x}=t.$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$t^2-2t-15=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(t-5\right)\left(t+3\right)=0,$$

откуда

$$t_1=5,\quad t_2=-3.$$

1) Если $$t=5,$$ то

$$x+\frac{1}{x}=5.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2+1=5x,$$

$$x^2-5x+1=0.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2}.$$

2) Если $$t=-3,$$ то

$$x+\frac{1}{x}=-3.$$

Умножим на $$x$$:

$$x^2+1=-3x,$$

$$x^2+3x+1=0.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.$$

Ответ

$$x=\frac{5\pm\sqrt{21}}{2},\quad x=\frac{-3\pm\sqrt{5}}{2}.$$