Упр.1272 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} x+y+2+u=5,\\ y+z+u+v=1,\\ x+u+v+x=2,\\ u+v+x+y=0,\\ v+x+y+z=4. \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе, из второго — третье, из третьего — четвёртое, из четвёртого — пятое:

$$\begin{aligned} (x+y+z+u)-(y+z+u+v)&=5-1,\\ (y+z+u+v)-(z+u+v+x)&=1-2,\\ (z+u+v+x)-(u+v+x+y)&=2-0,\\ (u+v+x+y)-(v+x+y+z)&=0-4. \end{aligned}$$

Получаем систему:

$$\begin{aligned} x-v&=4,\\ y-x&=-1,\\ z-y&=2,\\ u-z&=-4,\\ v-u&=-1. \end{aligned}$$

Выразим переменные последовательно:

$$\begin{aligned} v&=x-4,\\ y&=x-1,\\ z&=y+2,\\ u&=z-4. \end{aligned}$$

Подставим в первое уравнение исходной системы:

$$x+y+z+u=5.$$

$$x+(x-1)+(x+1)+(x-3)=5$$

$$4x-3=5$$

$$4x=8,\quad x=2.$$

Тогда

$$y=x-1=1,\quad z=y+2=3,\quad u=z-4=-1,\quad v=u-1=-2.$$

Ответ

$$x=2,\ y=1,\ z=3,\ u=-1,\ v=-2.$$