Упр.1264 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Корни х1 и х2 уравнения nх2 — 5х + 1 = 0 связаны соотношением х1^-2 + х2^-2 =13. Найдите n.

По теореме Виета для уравнения $$nx^2-5x+1=0$$ имеем:

$$x_1+x_2=\frac{5}{n}, \qquad x_1x_2=\frac{1}{n}.$$

Используем формулу:

$$x_1^{-2}+x_2^{-2}=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2}.$$

Подставим значения суммы и произведения корней:

$$\frac{\left(\frac{5}{n}\right)^2-2\cdot\frac{1}{n}}{\left(\frac{1}{n}\right)^2}=13.$$

Упростим:

$$\frac{\frac{25}{n^2}-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}}=13,$$

$$25-2n=13,$$

$$-2n=-12,$$

$$n=6.$$

Ответ

$$n=6$$