Упр.1243 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) имеют две общие точки, если l > 2;
б) имеют одну общую точку, если l = 2;
в) не имеют общих точек, если l < 2.

Точки пересечения прямой $$y=-x+l$$ и гиперболы $$y=\frac{1}{x}$$ найдём из уравнения

$$-x+l=\frac{1}{x}.$$

Умножим обе части на $$x$$, учитывая, что $$x\neq 0$$:

$$-x^2+lx=1,$$

$$x^2-lx+1=0.$$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант равен

$$D=l^2-4.$$

Число общих точек зависит от знака дискриминанта:

• если $$D>0$$, то уравнение имеет две различные действительные корня, значит, две общие точки;
• если $$D=0$$, то уравнение имеет один действительный корень, значит, одну общую точку;
• если $$D<0$$, то действительных корней нет, значит, общих точек нет.

Рассмотрим случаи.

1. Если $$l>2$$, то

   $$l^2>4,$$

   значит,

   $$D=l^2-4>0.$$

   Следовательно, прямая и гипербола имеют две общие точки.

2. Если $$l=2$$, то

   $$D=2^2-4=0.$$

   Следовательно, они имеют одну общую точку.

3. Если $$l<2$$, а $$l>0$$, то

   $$0<l<2 \Rightarrow l^2<4,$$

   значит,

   $$D=l^2-4<0.$$

   Следовательно, общих точек нет.

Ответ

а) две общие точки; б) одна общая точка; в) общих точек нет.