Упр.1196 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Докажите, что $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n$$ при любом целом $$n$$, $$a\ne0$$ и $$b\ne0$$.

Используем свойство степени с целым отрицательным показателем:

$$x^{-n}=\frac{1}{x^n}, \quad x\ne 0.$$

Тогда

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\frac{1}{\left(\frac{a}{b}\right)^n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Покажем это подробнее:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = a^{-n}\cdot b^n = \frac{1}{a^n}\cdot b^n = \frac{b^n}{a^n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n.$$

Так как $$a\ne 0$$ и $$b\ne 0$$, все преобразования корректны.

Ответ

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n}=\left(\frac{b}{a}\right)^n.$$