Упр.1191 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: При каких натуральных n дробь (n-7)/n принимает натуральные значения?

Пусть $$\frac{(n-7)^2}{n}$$ — натуральное число.

Преобразуем дробь:

$$\frac{(n-7)^2}{n}=\frac{n^2-14n+49}{n}=n-14+\frac{49}{n}.$$

Так как всё выражение должно быть натуральным, то и $$\frac{49}{n}$$ должно быть целым числом. Значит, $$n$$ — делитель числа $$49$$.

Натуральные делители числа $$49$$: $$1, 7, 49$$.

Проверим:

$$n=1:\ \frac{(1-7)^2}{1}=36 \in \mathbb{N}$$

$$n=7:\ \frac{(7-7)^2}{7}=0 \notin \mathbb{N}$$

$$n=49:\ \frac{(49-7)^2}{49}=36 \in \mathbb{N}$$

Следовательно, подходят значения $$n=1$$ и $$n=49$$.

Ответ

$$n=1,\ 49$$