Упр.1153 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) vx + x^2 = 18; б) x^3 + 5x = 6.
Докажите тождество

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x}+x^2=18$$

Перенесём $$\sqrt{x}$$ вправо:

$$x^2=18-\sqrt{x}$$

Область определения: $$x\ge 0$$.

На промежутке $$x\ge 0$$ функция $$y=x^2$$ возрастает, а функция $$y=18-\sqrt{x}$$ убывает. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Проверим $$x=4$$:

$$\sqrt{4}+4^2=2+16=18$$

Следовательно, $$x=4$$ — корень уравнения.

б) $$x^3+5x=6$$

Перенесём $$5x$$ вправо:

$$x^3=6-5x$$

Функция $$y=x^3$$ возрастает на всей числовой прямой, а функция $$y=6-5x$$ убывает на всей числовой прямой. Значит, уравнение имеет не более одного корня.

Проверим $$x=1$$:

$$1^3+5\cdot 1=1+5=6$$

Следовательно, $$x=1$$ — корень уравнения.

Тождество:

$$\sqrt{\frac{a^2+6ab+25b^2}{a-2\sqrt{ab}+5b}}-4b=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Заметим, что

$$a^2+6ab+25b^2=(a+5b)^2-4ab=(a-2\sqrt{ab}+5b)(a+2\sqrt{ab}+5b).$$

Тогда

$$ \sqrt{\frac{a^2+6ab+25b^2}{a-2\sqrt{ab}+5b}}-4b = \sqrt{a+2\sqrt{ab}+5b}-4b $$

При $$a\ge 0,\ b\ge 0$$ имеем

$$a+2\sqrt{ab}+b=(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2,$$

поэтому