Упр.1152 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

На плоскости отмечено несколько точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Через каждые две точки проведена прямая. Сколько точек отмечено на плоскости, если известно, что всего проведено 45 прямых?

Подробный ответ

Пусть отмечено $$n$$ точек. Тогда из каждой точки можно провести прямую к каждой из остальных $$n-1$$ точек, то есть всего получилось бы $$n(n-1)$$ соединений. Но каждая прямая учитывается дважды: как $$AB$$ и как $$BA$$. Поэтому число различных прямых равно

$$\frac{n(n-1)}{2}=45.$$

Умножим на 2:

$$n(n-1)=90.$$

Получаем уравнение

$$n^2-n-90=0.$$

Разложим на множители:

$$\left(n-10\right)\left(n+9\right)=0.$$

Отсюда $$n=10$$ или $$n=-9$$. Отрицательное значение не подходит, значит, на плоскости отмечено 10 точек.