Упр.1151 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Известно, что $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ — возрастающие (убывающие) функции. Докажите, что функция $$\varphi=f(x)+g(x)$$ является возрастающей (убывающей) функцией.
2. Докажите, что если числа $$a$$, $$b$$ и $$c$$ таковы, что $$a+b\ne0$$, $$b+c\ne0$$, $$c+a\ne0$$, то при $$x=\frac{a-b}{a+b}$$, $$y=\frac{b-c}{b+c}$$, $$z=\frac{c-a}{c+a}$$ верно

Пусть $$x_1>x_2$$. Так как функции $$y=f(x)$$ и $$y=g(x)$$ возрастающие, то

$$f(x_1)>f(x_2), \qquad g(x_1)>g(x_2).$$

Складывая эти неравенства, получаем

$$f(x_1)+g(x_1)>f(x_2)+g(x_2).$$

Обозначим $$\varphi(x)=f(x)+g(x)$$. Тогда

$$\varphi(x_1)>\varphi(x_2),$$

значит, функция $$\varphi(x)$$ возрастающая.

Аналогично, если $$f(x)$$ и $$g(x)$$ убывающие и $$x_1>x_2$$, то

$$f(x_1)<f(x_2), \qquad g(x_1)<g(x_2),$$

откуда

$$f(x_1)+g(x_1)<f(x_2)+g(x_2).$$

Следовательно, $$\varphi(x)=f(x)+g(x)$$ — убывающая функция.

Докажем равенство

$$\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right).$$

Подставим

$$x=\frac{a-b}{a+b}, \qquad y=\frac{b-c}{b+c}, \qquad z=\frac{c-a}{c+a}.$$

Тогда

$$1+x=1+\frac{a-b}{a+b}=\frac{2a}{a+b}, \qquad 1+y=\frac{2b}{b+c}, \qquad 1+z=\frac{2c}{c+a},$$

и

$$\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\frac{2a}{a+b}\cdot\frac{2b}{b+c}\cdot\frac{2c}{c+a}=\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$$

С другой стороны,

$$1-x=1-\frac{a-b}{a+b}=\frac{2b}{a+b}, \qquad 1-y=\frac{2c}{b+c}, \qquad 1-z=\frac{2a}{c+a},$$

поэтому

$$\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right)=\frac{2b}{a+b}\cdot\frac{2c}{b+c}\cdot\frac{2a}{c+a}=\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}.$$

Следовательно,

$$\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right).$$

Ответ

$$\varphi(x)=f(x)+g(x)$$ — возрастающая функция, если $$f(x)$$ и $$g(x)$$ возрастающие; $$\varphi(x)$$ — убывающая функция, если $$f(x)$$ и $$g(x)$$ убывающие. Кроме того,

$$\left(1+x\right)\left(1+y\right)\left(1+z\right)=\left(1-x\right)\left(1-y\right)\left(1-z\right).$$