Упр.1148 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Докажите, что графиком уравнения ху — 2х + 3у — 6 = 0 является пара пересекающихся прямых

Скорость катера по течению реки:

$$16+4=20\text{ км/ч}$$

Скорость катера против течения реки:

$$16-4=12\text{ км/ч}$$

На путь от $A$ до $B$ катер затратит:

$$\frac{60}{20}=3\text{ ч}$$

На обратный путь он затратит:

$$\frac{60}{12}=5\text{ ч}$$

Тогда расстояние $l$ от пристани $A$ зависит от времени $t$ так:

$$ l(t)= \begin{cases} 20t, & 0\le t<3,\\ 60, & 3\le t<5,\\ 120-12t, & 5\le t\le 10. \end{cases} $$

Построим график: это ломаная, состоящая из отрезков, соединяющих точки $$(0;0),\ (3;60),\ (5;60),\ (10;0).$$

Свойства функции:

• при $0\le t<3$ функция возрастает — катер удаляется от пристани $A$;
• при $3\le t<5$ функция постоянна — катер стоит у пристани $B$;
• при $5\le t\le 10$ функция убывает — катер возвращается к пристани $A$.

Теперь докажем, что графиком уравнения $$xy-2x+3y-6=0$$ является пара пересекающихся прямых.

Преобразуем уравнение:

$$ xy-2x+3y-6=0 $$

$$ x(y-2)+3(y-2)=0 $$

$$ (y-2)(x+3)=0 $$

Отсюда:

$$y-2=0 \quad \text{или} \quad x+3=0,$$

то есть

$$y=2 \quad \text{или} \quad x=-3.$$

Значит, график уравнения — две пересекающиеся прямые $y=2$ и $x=-3$, которые пересекаются в точке $(-3;2)$.

Ответ

$$ l(t)= \begin{cases} 20t, & 0\le t<3,\\ 60, & 3\le t<5,\\ 120-12t, & 5\le t\le 10. \end{cases} $$

График — ломаная через точки $$(0;0),\ (3;60),\ (5;60),\ (10;0).$$

$$xy-2x+3y-6=0 \iff (x+3)(y-2)=0,$$

значит, это прямые $$x=-3$$ и $$y=2,$$ пересекающиеся в точке $$(-3;2).$$