Упр.1147 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Постройте график функции:

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=\frac{1}{x^2+1}.$$

Найдём область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль.

$$x^2+1\neq 0.$$

Но при любом действительном $$x$$ имеем $$x^2\ge 0,$$ значит $$x^2+1>0.$$ Следовательно, функция определена при всех $$x\in \mathbb{R}.$$

Проверим пересечение с осью $$x$$. Для этого нужно, чтобы $$y=0$$:

$$\frac{1}{x^2+1}=0.$$

Таких значений $$x$$ нет, так как дробь с числителем $$1$$ не может быть равна нулю. Значит, график ось $$x$$ не пересекает.

Проверим пересечение с осью $$y$$. Для этого положим $$x=0$$:

$$y=\frac{1}{0^2+1}=1.$$

Значит, график пересекает ось $$y$$ в точке $$\left(0;1\right).$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ то $$y>0$$ при всех значениях $$x.$$ Следовательно, график расположен выше оси $$x$$, то есть в I и II координатных четвертях.

Для построения графика можно отметить несколько точек:

$$x=-2,\; y=\frac{1}{5}; \quad x=-1,\; y=\frac{1}{2}; \quad x=0,\; y=1; \quad x=1,\; y=\frac{1}{2}; \quad x=2,\; y=\frac{1}{5}.$$

Соединяя эти точки плавной линией, получаем график функции.