Упр.1146 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ основание $$AC$$ равно $$6\text{ см}$$, а боковая сторона — $$5\text{ см}$$. Концы подвижного отрезка, параллельного основанию, лежат на боковых сторонах. Его длина равна $$y\text{ см}$$, а расстояние от вершины — $$x\text{ см}$$. Задайте формулой $$y$$ как функцию от $$x$$. Найдите множество значений этой функции.
2. Пересекает ли график функции $$y=\frac{3x+1}{x}$$ прямую: а) $$x=0$$; б) $$y=0$$; в) $$x=3$$; г) $$y=3$$?

1) Найдём высоту равнобедренного треугольника $$ABC$$. Так как $$AB=BC=5$$ см, $$AC=6$$ см, то высота $$BH$$ делит основание пополам:

$$HC=\frac{AC}{2}=\frac{6}{2}=3.$$

По теореме Пифагора:

$$BH=\sqrt{BC^2-HC^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=4.$$

Поскольку отрезок $$MN$$ параллелен основанию $$AC$$, треугольники $$BMN$$ и $$BAC$$ подобны. Тогда

$$\frac{MN}{AC}=\frac{BE}{BH}.$$

Обозначая $$MN=y$$, $$BE=x$$, получаем:

$$\frac{y}{6}=\frac{x}{4}, \qquad y=\frac{6}{4}x=\frac{3}{2}x.$$

Так как точка $$E$$ лежит на высоте $$BH$$, то

$$0<x<4.$$

Следовательно,

$$0<y<6.$$

2) Для функции $$y=\frac{3x+1}{x}$$ проверим пересечение с указанными прямыми.

а) $$x=0$$ — не пересекает, так как при $$x=0$$ функция не определена.

б) $$y=0$$:

$$\frac{3x+1}{x}=0 \Rightarrow 3x+1=0 \Rightarrow x=-\frac{1}{3}.$$

Значит, пересекает.

в) $$x=3$$:

$$y=\frac{3\cdot 3+1}{3}=\frac{10}{3}.$$

Значит, пересекает.

г) $$y=3$$:

$$\frac{3x+1}{x}=3 \Rightarrow 3x+1=3x \Rightarrow 1=0,$$

что невозможно. Значит, не пересекает.

Ответ

$$y=\frac{3}{2}x,\quad 0<x<4,\quad 0<y<6.$$

График функции $$y=\frac{3x+1}{x}$$: а) не пересекает; б) пересекает; в) пересекает; г) не пересекает.