Упр.1145 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Макарычев, Миндюк, Нешков 8 класс, Просвещение: Длина прямоугольника ABCD (рис. 75) равна 10 см, а ширина — 7 см. Отрезок MN передвигается от отрезка AD до отрезка BC, оставаясь параллельным отрезку AD. Площадь у (см^2) закрашенной части есть функция расстояния x (см) от точки D до точки N. Задайте функцию у = f(x) формулой. Найдите множество значений этой функции. Постройте график функции, заданной формулой у = x+1/x.

Пусть закрашенная часть — прямоугольник с длиной $$AD=10\text{ см}$$ и шириной $$DN=x\text{ см}.$$ Тогда его площадь равна

$$y=S_{AMND}=AD\cdot DN=10x.$$

Так как отрезок $$MN$$ перемещается от $$AD$$ до $$BC,$$ то $$x$$ изменяется от $$0$$ до $$7,$$ но крайние положения не входят в область определения:

$$0<x<7.$$

Следовательно,

$$y=10x,\qquad 0<x<7.$$

Найдём множество значений функции. При $$x\to 0+$$ получаем $$y\to 0+,$$ а при $$x\to 7-$$ получаем $$y\to 70-.$$ Значит,

$$0<y<70.$$

График функции $$y=10x$$ на заданной области определения — это часть прямой, лежащая в первой четверти между точками $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(7;70\right),$$ без самих концов.

Для функции $$y=x+\dfrac{1}{x}$$ область определения:

$$x\ne 0.$$

Это гипербола, сдвинутая вверх и вправо. Для построения удобно отметить несколько точек:

График состоит из двух ветвей и имеет асимптоты $$x=0$$ и $$y=x.$$

Ответ

$$y=10x,\quad 0<x<7,\quad 0<y<70.$$

Для $$y=x+\dfrac{1}{x}$$: $$x\ne 0$$; график — две ветви гиперболы с асимптотами $$x=0$$ и $$y=x.$$