Упр.1142 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Постройте график функции: а) $$y=2[x]$$; б) $$y=[2x]$$; в) $$y=-[x]$$.
2. Докажите, что если $$a+c=2b$$ и $$2bd=c(b+d)$$, причём $$b\ne0$$ и $$d\ne0$$, то $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$.

1. Для функции $$y=2[x]$$ значение $$[x]$$ постоянно на каждом промежутке $$[n;n+1)$$, где $$n\in \mathbb{Z}$$. Поэтому график состоит из горизонтальных отрезков:

   $$y=2n \quad \text{при} \quad x\in [n;n+1), \; n\in \mathbb{Z}.$$

2. Для функции $$y=[2x]$$ имеем:

   $$y=n \quad \text{при} \quad x\in \left[\frac n2;\frac{n+1}{2}\right), \; n\in \mathbb{Z}.$$

   График получается более «частым», чем у функции $$y=[x]$$, так как аргумент умножен на 2.

3. Для функции $$y=-[x]$$ нужно отразить график функции $$y=[x]$$ относительно оси $$Ox$$:

   $$y=-n \quad \text{при} \quad x\in [n;n+1), \; n\in \mathbb{Z}.$$

4. Докажем, что $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$, если $$a+c=2b$$ и $$2bd=c(b+d)$$, причём $$b\ne 0$$ и $$d\ne 0$$.

   Из условия $$a+c=2b$$ получаем:

   $$a=2b-c.$$

   Из условия $$2bd=c(b+d)$$ имеем:

   $$c=\frac{2bd}{b+d}.$$

   Подставим найденные выражения в разность $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d}$$:

   $$\frac{a}{b}-\frac{c}{d} = \frac{2b-c}{b}-\frac{2bd}{(b+d)d}.$$

   Так как $$\frac{2bd}{(b+d)d}=\frac{2b}{b+d}$$, то

   $$\frac{2b-c}{b}-\frac{2b}{b+d}=0.$$

   Умножим на $$b(b+d)$$:

   $$(2b-c)(b+d)-2b^2=0.$$

   Раскроем скобки:

   $$2b^2+2bd-bc-cd-2b^2=0,$$

   $$2bd-bc-cd=0,$$

   $$2bd=c(b+d).$$

   Это верно по условию, значит,

   $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}.$$

Ответ

а) график состоит из отрезков $$y=2n$$ на промежутках $$x\in [n;n+1)$$; б) $$y=n$$ на промежутках $$x\in \left[\frac n2;\frac{n+1}{2}\right)$$; в) график функции $$y=[x]$$, отражённый относительно оси $$Ox$$; $$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$.