Упр.1140 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите члены пропорции х1 : х2 = х3 : х4, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвёртого. Сумма квадратов всех членов равна 793.

1) Если $$x=2{,}7,$$ то

$$2[x]=2\cdot[2{,}7]=2\cdot2=4,$$

$$[2x]=[2\cdot2{,}7]=[5{,}4]=5,$$

$$[-2x]=[-2\cdot2{,}7]=[-5{,}4]=-6.$$

2) Пусть члены пропорции равны $$x_1, x_2, x_3, x_4.$$ По условию

$$x_1:x_2=x_3:x_4,$$

$$x_1=x_2+6,\qquad x_3=x_4+5,$$

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=793.$$

Тогда

$$\frac{x_2+6}{x_2}=\frac{x_4+5}{x_4}.$$

Перемножим крест-накрест:

$$x_4(x_2+6)=x_2(x_4+5),$$

$$x_2x_4+6x_4=x_2x_4+5x_2,$$

$$6x_4=5x_2,$$

$$x_2=\frac{6}{5}x_4.$$

Подставим в сумму квадратов:

$$\left(\frac{6}{5}x_4+6\right)^2+\left(\frac{6}{5}x_4\right)^2+(x_4+5)^2+x_4^2=793.$$

После преобразований получаем:

$$61x_4^2+305x_4-9150=0.$$

Найдём корни:

$$D=305^2-4\cdot61\cdot(-9150)=2325625=1525^2,$$

$$x_4=\frac{-305\pm1525}{122}.$$

Отсюда

$$x_4=10 \quad \text{или} \quad x_4=-15.$$

Если $$x_4=10,$$ то

$$x_2=\frac{6}{5}\cdot10=12,\qquad x_1=12+6=18,\qquad x_3=10+5=15.$$

Если $$x_4=-15,$$ то

$$x_2=\frac{6}{5}\cdot(-15)=-18,\qquad x_1=-18+6=-12,\qquad x_3=-15+5=-10.$$

Ответ

$$2[x]=4,\quad [2x]=5,\quad [-2x]=-6.$$

Члены пропорции: $$\{10;\,12;\,15;\,18\}$$ и $$\{-18;\,-15;\,-12;\,-10\}.$$