Упр.1138 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

Два слесаря получили задание. Для его выполнения первому слесарю понадобится на 7 ч больше, чем второму. После того как оба слесаря выполнили половину задания, работу пришлось заканчивать одному второму слесарю, и поэтому задание было выполнено на 4,5 ч позднее, чем если бы всю работу они выполнили вместе. За сколько часов мог бы выполнить задание каждый слесарь?

Подробный ответ

Обозначим за $$x$$ и $$y$$ время выполнения задания первым и вторым слесарями соответственно. Тогда по условию

$$x=y+7.$$

Если оба слесаря выполняют работу вместе, то их общая производительность равна $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}.$$

Половину задания они выполняют за время

$$\frac{1}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}.$$

После этого оставшуюся половину выполняет второй слесарь один, значит на это уходит

$$\frac{y}{2}.$$

По условию вся работа была закончена на $$4{,}5$$ ч позже, чем при совместной работе, поэтому

$$\frac{1}{2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)}+\frac{y}{2}=\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}+\frac{9}{2}.$$

Подставим $$x=y+7$$:

$$\frac{1}{2\left(\frac{1}{y+7}+\frac{1}{y}\right)}+\frac{y}{2}=\frac{1}{\frac{1}{y+7}+\frac{1}{y}}+\frac{9}{2}.$$

Так как

$$\frac{1}{y+7}+\frac{1}{y}=\frac{2y+7}{y(y+7)},$$

получаем

$$\frac{y(y+7)}{2(2y+7)}+\frac{y}{2}=\frac{y(y+7)}{2y+7}+\frac{9}{2}.$$

Умножим на $$2(2y+7)$$:

$$y(y+7)+y(2y+7)=2y(y+7)+9(2y+7).$$

Раскроем скобки:

$$y^2+7y+2y^2+7y=2y^2+14y+18y+63,$$

$$3y^2+14y=2y^2+32y+63,$$

$$y^2-18y-63=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-18)^2-4\cdot 1\cdot(-63)=324+252=576,$$

$$\sqrt{D}=24.$$

Тогда

$$y=\frac{18\pm 24}{2}.$$

Получаем корни:

$$y_1=21,\qquad y_2=-3.$$

Отрицательное значение не подходит, значит $$y=21$$ ч, а

$$x=y+7=28.$$

Проверка: $$\frac{1}{28}+\frac{1}{21}=\frac{1}{12}$$, значит вместе они выполнили бы работу за $$12$$ ч, половину — за $$6$$ ч, а затем второй слесарь один закончил бы оставшуюся половину за $$\frac{21}{2}=10{,}5$$ ч. Итого $$16{,}5$$ ч, что на $$4{,}5$$ ч больше, чем $$12$$ ч.