Упр.1136 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 5v2 + 3v5 и 3v7 + v45; в) 5v3 + 3v5 и v75 + 7v2;
б) 6v2 — 2v7 и 4v3 — v28; г) v112 — 2v5 и 4v7 — v23. Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Первый автомобиль пришёл в В на 1,1 ч позже, чем второй в А. Во сколько раз скорость второго автомобиля больше скорости первого?

а) $$5\sqrt2+3\sqrt5 \text{ и } 3\sqrt7+\sqrt{45}$$

$$\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt5$$

Тогда

$$5\sqrt2+3\sqrt5 \text{ и } 3\sqrt7+3\sqrt5$$

Сравним $$5\sqrt2$$ и $$3\sqrt7$$:

$$\left(5\sqrt2\right)^2=50,\qquad \left(3\sqrt7\right)^2=63,$$

значит, $$5\sqrt2<3\sqrt7.$$

Следовательно,

$$5\sqrt2+3\sqrt5<3\sqrt7+\sqrt{45}.$$

б) $$6\sqrt2-2\sqrt7 \text{ и } 4\sqrt3-\sqrt{28}$$

$$\sqrt{28}=\sqrt{4\cdot 7}=2\sqrt7$$

Тогда

$$6\sqrt2-2\sqrt7 \text{ и } 4\sqrt3-2\sqrt7$$

Сравним $$6\sqrt2$$ и $$4\sqrt3$$:

$$\left(6\sqrt2\right)^2=72,\qquad \left(4\sqrt3\right)^2=48,$$

значит, $$6\sqrt2>4\sqrt3.$$

Следовательно,

$$6\sqrt2-2\sqrt7>4\sqrt3-\sqrt{28}.$$

в) $$5\sqrt3+3\sqrt5 \text{ и } \sqrt{75}+7\sqrt2$$

$$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt3$$

Тогда

$$5\sqrt3+3\sqrt5 \text{ и } 5\sqrt3+7\sqrt2$$

Сравним $$3\sqrt5$$ и $$7\sqrt2$$:

$$\left(3\sqrt5\right)^2=45,\qquad \left(7\sqrt2\right)^2=98,$$

значит, $$3\sqrt5<7\sqrt2.$$

Следовательно,

$$5\sqrt3+3\sqrt5<\sqrt{75}+7\sqrt2.$$

г) $$\sqrt{112}-2\sqrt5 \text{ и } 4\sqrt7-\sqrt{23}$$

$$\sqrt{112}=\sqrt{16\cdot 7}=4\sqrt7$$

Тогда

$$4\sqrt7-2\sqrt5 \text{ и } 4\sqrt7-\sqrt{23}$$

Сравним $$-2\sqrt5$$ и $$-\sqrt{23}$$. Так как

$$\left(2\sqrt5\right)^2=20,\qquad \left(\sqrt{23}\right)^2=23,$$

то $$2\sqrt5<\sqrt{23}$$, значит

$$-2\sqrt5>-\sqrt{23}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{112}-2\sqrt5>4\sqrt7-\sqrt{23}.$$

Из А в В и из В в А выехали одновременно два автомобиля и встретились через 3 ч. Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого автомобиля, $$y$$ км/ч — скорость второго. Тогда

$$\frac{s}{x}-\frac{s}{y}=1{,}1,\qquad 3(x+y)=s,$$

где $$s$$ — расстояние между пунктами.

Из второго уравнения:

$$x+y=\frac{s}{3},\qquad x=\frac{s}{3}-y.$$

Подставим в первое:

$$\frac{s}{\frac{s}{3}-y}-\frac{s}{y}=1{,}1.$$

После преобразований получаем квадратное уравнение:

$$33y^2-71sy+10s^2=0.$$

Его корни:

$$y_1=2s,\qquad y_2=\frac{5s}{33}.$$

Значение $$y_1=2s$$ не подходит, так как тогда $$x=\frac{s}{3}-2s<0.$$

Значит,

$$y=\frac{5s}{33},\qquad x=\frac{s}{3}-\frac{5s}{33}=\frac{2s}{11}.$$

Тогда

$$\frac{y}{x}=\frac{5s/33}{2s/11}=\frac{5}{6}\cdot\frac{11}{2}=\frac{55}{66}=\frac{5}{6}.$$

Следовательно, скорость второго автомобиля больше скорости первого в

$$\frac{x}{y}=\frac{6}{5}=1{,}2$$

раза.

Ответ

а) $$5\sqrt2+3\sqrt5<3\sqrt7+\sqrt{45}$$; б) $$6\sqrt2-2\sqrt7>4\sqrt3-\sqrt{28}$$; в) $$5\sqrt3+3\sqrt5<\sqrt{75}+7\sqrt2$$; г) $$\sqrt{112}-2\sqrt5>4\sqrt7-\sqrt{23}$$; скорость второго автомобиля больше в $$1{,}2$$ раза.