Упр.1131 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) y = 3/x; б) у = -4/x.
Два мальчика стартовали по беговой дорожке длиной 50 м с интервалом 1 с. Мальчик, стартовавший вторым, догнал первого в 10 м от линии старта, добежал до конца дорожки и побежал обратно с той же скоростью. На каком расстоянии от конца дорожки он встретил первого мальчика, если известно, что эта встреча произошла через 10 с после старта первого мальчика?
а) Для функции $$y=\frac{3}{x}$$ составим таблицу значений:
| $$x$$ | $$-6$$ | $$-3$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$3$$ | $$6$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$-0{,}5$$ | $$-1$$ | $$-3$$ | $$-6$$ | $$6$$ | $$3$$ | $$1$$ | $$0{,}5$$ |
График — гипербола с ветвями в I и III четвертях.
Свойства:
- $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
- $$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
- нулей функции нет;
- $$y>0$$ при $$x>0$$, $$y<0$$ при $$x<0$$;
- функция убывает при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
б) Для функции $$y=-\frac{4}{x}$$ составим таблицу значений:
| $$x$$ | $$-8$$ | $$-4$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$8$$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $$y$$ | $$0{,}5$$ | $$1$$ | $$4$$ | $$8$$ | $$-8$$ | $$-4$$ | $$-1$$ | $$-0{,}5$$ |
График — гипербола с ветвями во II и IV четвертях.
Свойства:
- $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
- $$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
- нулей функции нет;
- $$y>0$$ при $$x<0$$, $$y<0$$ при $$x>0$$;
- функция возрастает при $$x\in(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$.
Задача. Пусть $$x$$ м/с — скорость первого мальчика, $$y$$ м/с — скорость второго.
За первые 10 с первый мальчик пробежал $$10x$$ м, а второй за 9 с после своего старта — $$9y$$ м. Так как второй догнал первого в 10 м от старта, получаем:
$$ \begin{cases} \frac{10}{x}-\frac{10}{y}=1,\\ 10x+9y=100. \end{cases} $$
Из первого уравнения:
$$ 10y-10x=xy. $$
Из второго:
$$ x=10-0{,}9y. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ 10y-10(10-0{,}9y)=y(10-0{,}9y). $$
$$ 10y-100+9y=10y-0{,}9y^2 $$
$$ 0{,}9y^2+9y-100=0. $$
Умножим на 10:
$$ 9y^2+90y-1000=0. $$
$$ D=90^2-4\cdot 9\cdot(-1000)=8100+36000=44100=210^2. $$
$$ y=\frac{-90+210}{18}=\frac{120}{18}=\frac{20}{3}. $$
Тогда скорость второго мальчика равна $$\frac{20}{3}$$ м/с.
Найдём расстояние от конца дорожки до места встречи:
$$ s=9\cdot \frac{20}{3}-50=60-50=10. $$
Ответ
а) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$, $$E(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$; нулей нет; для $$y=\frac{3}{x}$$ функция убывает, для $$y=-\frac{4}{x}$$ — возрастает.
б) $$10$$ м.
