Упр.1130 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Задача

а) f(x) > 10; б) 3 < f(x) < 5. Проиллюстрируйте свой ответ на графике. Из города М в город N вышел автобус со скоростью 40 км/ч. Через четверть часа он встретил ехавшую из города N легковую автомашину. Эта машина доехала до города М, через 15 мин выехала обратно в город N и обогнала автобус в 20 км от города N. Найдите расстояние между городами М и N, если скорость легковой автомашины 50 км/ч.

Подробный ответ

1) Дана функция $$f(x)=\sqrt{x}.$$

а) Найдём, при каких значениях $$x$$ выполняется неравенство $$f(x)>10$$:

$$\sqrt{x}>10$$

Так как обе части неотрицательны, возведём в квадрат:

$$x>100.$$

Значит, $$f(x)>10$$ при $$x>100$$.

б) Решим двойное неравенство $$3<f(x)<5$$:

$$3<\sqrt{x}<5$$

Возведём все части в квадрат:

$$9<x<25.$$

Значит, $$3<f(x)<5$$ при $$x\in(9;25).$$

2) Пусть $$x$$ км — расстояние между городами $$M$$ и $$N$$.

Тогда автобус за время до встречи проехал $$\frac14$$ ч со скоростью $$40$$ км/ч, то есть $$10$$ км. После встречи до города $$N$$ ему осталось проехать $$x-10$$ км.

Легковая машина до встречи проехала $$x-20$$ км, а затем, вернувшись из города $$M$$, обогнала автобус в $$20$$ км от города $$N$$. Значит, после разворота она проехала $$x-20+20=x$$ км.

Составим уравнение по времени:

$$\frac{10}{40}+\frac14+\frac{x-20}{50}=\frac{x-10}{40}.$$

Упростим:

$$\frac14+\frac{x-20}{50}=\frac{x-20}{40}$$

$$10+\frac{4(x-20)}{20}=\frac{5(x-20)}{20}$$

Проще умножить сразу на $$200$$:

$$5\cdot 10+4(x-20)=5(x-20)$$

$$50+4x-80=5x-100$$

$$4x-30=5x-100$$

$$x=70.$$

Проверим по данным задачи: автобус встретил машину через $$15$$ мин, затем машина доехала до $$M$$, через $$15$$ мин выехала обратно и обогнала автобус в $$20$$ км от $$N$$. Полученное значение удовлетворяет условию.