Упр.1129 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) Укажите координаты их общих точек.
б) При каких значениях х график функции у = vх расположен выше прямой у = х и при каких значениях х он расположен ниже этой прямой?
1 Докажите, что функция у = корень (x2 + 2 (корень 2)x + 2) + корень (x2 — 2 (корень 2)x + 2), где — корень 2 <= х <= корень 2, линейная.

Рассмотрим функции $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x.$$

Найдём точки их пересечения, приравняв значения функций:

$$\sqrt{x}=x.$$

Так как $$x\ge 0,$$ возведём обе части в квадрат:

$$x=x^2,$$

$$x^2-x=0,$$

$$x(x-1)=0.$$

Отсюда $$x=0$$ или $$x=1.$$

Тогда соответствующие значения $$y$$:

$$y=\sqrt{0}=0,\qquad y=\sqrt{1}=1.$$

Значит, графики пересекаются в точках $$ (0;0) $$ и $$ (1;1).$$

Теперь сравним функции:

$$\sqrt{x}>x \iff 0<x<1,$$

$$\sqrt{x}<x \iff x>1.$$

При $$x=0$$ и $$x=1$$ графики совпадают.

Ответ

а) $$ (0;0) $$ и $$ (1;1).$$

б) График $$y=\sqrt{x}$$ расположен выше прямой $$y=x$$ при $$0<x<1,$$ а ниже — при $$x>1.$$

Ход решения

Рассмотрим функцию

$$y=\sqrt{x^2+2\sqrt2\,x+2}+\sqrt{x^2-2\sqrt2\,x+2}, \qquad -\sqrt2\le x\le \sqrt2.$$

Преобразуем выражения под корнями:

$$x^2+2\sqrt2\,x+2=(x+\sqrt2)^2,$$

$$x^2-2\sqrt2\,x+2=(x-\sqrt2)^2.$$

Тогда

$$y=\sqrt{(x+\sqrt2)^2}+\sqrt{(x-\sqrt2)^2}=|x+\sqrt2|+|x-\sqrt2|.$$

Так как $$-\sqrt2\le x\le \sqrt2,$$ то $$x+\sqrt2\ge 0$$ и $$x-\sqrt2\le 0.$$ Следовательно,

$$|x+\sqrt2|=x+\sqrt2,\qquad |x-\sqrt2|=\sqrt2-x.$$

Тогда

$$y=(x+\sqrt2)+(\sqrt2-x)=2\sqrt2.$$

Получили постоянную функцию, значит, она линейная.

Ответ

$$y=2\sqrt2,$$ функция линейная.