Упр.1128 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Используя график функции $$y=\sqrt{x}$$, постройте в той же системе координат график функции: а) $$y=2\sqrt{x}$$; б) $$y=-\sqrt{x}$$; в) $$y=\sqrt{-x}$$.
2. Докажите, что при любом натуральном $$n$$, большем 2, корни уравнения $$x+\frac{1}{x}=n$$ — иррациональные числа.

а) Для функции $$y=2\sqrt{x}$$ значения ординат в 2 раза больше, чем у графика $$y=\sqrt{x}$$. Поэтому достаточно взять те же значения $$x$$ и удвоить соответствующие значения $$y$$:

$$\begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 4 & 9 & 16 & 25 \\ \hline y=\sqrt{x} & 0 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ y=2\sqrt{x} & 0 & 4 & 6 & 8 & 10 \end{array}$$

График $$y=2\sqrt{x}$$ получается растяжением графика $$y=\sqrt{x}$$ вдоль оси $$y$$ в 2 раза.

б) График функции $$y=-\sqrt{x}$$ симметричен графику $$y=\sqrt{x}$$ относительно оси $$x$$.

в) График функции $$y=\sqrt{-x}$$ симметричен графику $$y=\sqrt{x}$$ относительно оси $$y$$.

Докажем, что при любом натуральном $$n>2$$ корни уравнения $$x+\dfrac{1}{x}=n$$ иррациональны.

Умножим уравнение на $$x$$:

$$x^2-nx+1=0$$

Дискриминант:

$$D=n^2-4$$

Так как $$n>2$$, то $$D>0$$, значит, уравнение имеет два корня:

$$x_{1,2}=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}$$

Предположим, что $$\sqrt{n^2-4}$$ — рациональное число. Тогда оно равно некоторой дроби $$\dfrac{a}{b}$$, где $$a,b\in\mathbb{Z}$$, $$b\neq 0$$. Получаем:

$$n^2-4=\frac{a^2}{b^2}$$

То есть $$n^2-4$$ — квадрат рационального числа. Но тогда из равенства

$$(n-\sqrt{n^2-4})(n+\sqrt{n^2-4})=4$$

следует, что числа $$n-\sqrt{n^2-4}$$ и $$n+\sqrt{n^2-4}$$ — рациональные. Обозначим $$y=\sqrt{n^2-4}$$. Тогда

$$\begin{cases} n-y= \dfrac{4}{n+y} \\ n+y=\dfrac{4}{n-y} \end{cases}$$

Если бы оба корня были рациональными, то их сумма была бы рациональной, а произведение равно $$1$$. Но при $$n>2$$ это невозможно для целого $$n$$: из рациональности $$\sqrt{n^2-4}$$ следовало бы, что $$n^2-4$$ — полный квадрат, а тогда

$$n^2-4=m^2$$

или

$$(n-m)(n+m)=4$$

Отсюда возможен только случай $$n=2$$, что противоречит условию $$n>2$$. Значит, $$\sqrt{n^2-4}$$ иррационально, а следовательно, и корни уравнения иррациональны.

Ответ

а) $$y=2\sqrt{x}$$ — график, растянутый по оси $$y$$ в 2 раза;
б) $$y=-\sqrt{x}$$ — симметрия относительно оси $$x$$;
в) $$y=\sqrt{-x}$$ — симметрия относительно оси $$y$$.
Корни уравнения $$x+\dfrac{1}{x}=n$$ при любом натуральном $$n>2$$ иррациональны.