Упр.1127 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Какие из прямых $$y=25$$, $$y=0{,}09$$, $$y=10$$, $$y=-4$$ пересекают график функции $$y=\sqrt{x}$$? Для прямых, пересекающих график, укажите абсциссы точек пересечения.
2. При каком значении $$a$$ сумма квадратов корней уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$ равна $$9$$?

График функции $$y=\sqrt{x}$$ пересекает прямую $$y=c$$ только при $$c\ge 0$$. Тогда абсцисса точки пересечения находится из уравнения $$\sqrt{x}=c$$, то есть $$x=c^2$$.

1. $$y=25$$ и $$y=\sqrt{x}$$:

   $$\sqrt{x}=25 \Rightarrow x=625.$$

2. $$y=0{,}09$$ и $$y=\sqrt{x}$$:

   $$\sqrt{x}=0{,}09 \Rightarrow x=0{,}0081.$$

3. $$y=10$$ и $$y=\sqrt{x}$$:

   $$\sqrt{x}=10 \Rightarrow x=100.$$

4. $$y=-4$$ и $$y=\sqrt{x}$$:

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0$$, уравнение $$\sqrt{x}=-4$$ решений не имеет, значит, графики не пересекаются.

Теперь решим вторую задачу.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+(a-1)x-2a=0$$. По теореме Виета:

$$x_1+x_2=1-a,\qquad x_1x_2=-2a.$$

По условию:

$$x_1^2+x_2^2=9.$$

Используем формулу:

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2.$$

Тогда

$$(1-a)^2-2(-2a)=9$$

$$1-2a+a^2+4a=9$$

$$a^2+2a-8=0$$

$$(a+4)(a-2)=0$$

$$a=-4 \text{ или } a=2.$$

Проверим: при $$a=-4$$ уравнение имеет корни $$x^2-5x+8=0$$, у него $$D=25-32=-7<0$$, значит, корней нет. Подходит только $$a=2$$.

Ответ

Прямые $$y=25$$, $$y=0{,}09$$ и $$y=10$$ пересекают график функции $$y=\sqrt{x}$$; абсциссы точек пересечения: $$625$$, $$0{,}0081$$ и $$100$$. Прямая $$y=-4$$ график не пересекает.
$$a=2$$.