Упр.1125 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) 4x — x^3;
б) а^4 — 169а^2;
в) с^3 — 8с^2 + 16с. Найдите наименьшее значение выражения (а — 1) (а — 2) (а — 5) (а — 6) + 9.

а) $$4x-x^3=x(4-x^2)=x(2-x)(2+x).$$

б) $$a^4-169a^2=a^2(a^2-169)=a^2(a-13)(a+13).$$

в) $$c^3-8c^2+16c=c(c^2-8c+16)=c(c-4)^2.$$

Найдём наименьшее значение выражения

$$ (a-1)(a-2)(a-5)(a-6)+9. $$

Сгруппируем множители:

$$ (a-1)(a-6)=a^2-7a+6, \\ (a-2)(a-5)=a^2-7a+10. $$

Тогда

$$ (a-1)(a-2)(a-5)(a-6)+9=(a^2-7a+6)(a^2-7a+10)+9. $$

Введём замену:

$$b=a^2-7a.$$

Тогда

$$ (b+6)(b+10)+9=b^2+16b+69=(b+8)^2+5. $$

Так как $$ (b+8)^2 \ge 0, $$ то наименьшее значение выражения равно $$5$$.

Ответ

а) $$x(2-x)(2+x);$$ б) $$a^2(a-13)(a+13);$$ в) $$c(c-4)^2;$$ наименьшее значение выражения равно $$5$$.