Упр.1122 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

1. Функция задана формулой $$y=kx+b$$, где $$k$$ и $$b$$ — некоторые числа. Покажите схематически, как располагается график в координатной плоскости, если: а) $$k>0$$, $$b>0$$; б) $$k<0$$, $$b>0$$; в) $$k<0$$, $$b=0$$; г) $$k<0$$, $$b<0$$; д) $$k=0$$, $$b<0$$.
2. Пара чисел $$x=3$$, $$y=2$$ является решением уравнения $$(x+y\sqrt{2})(x-y\sqrt{2})=1$$. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.

1) Для функции $$y=kx+b$$ график — прямая. Число $$b$$ задаёт точку пересечения с осью $$Oy$$, а знак $$k$$ определяет наклон прямой:

• если $$k>0$$, прямая возрастает;
• если $$k<0$$, прямая убывает;
• если $$k=0$$, график — горизонтальная прямая $$y=b$$.

Тогда:

• а) при $$k>0,\, b>0$$ прямая возрастает и пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
• б) при $$k<0,\, b>0$$ прямая убывает и пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
• в) при $$k<0,\, b=0$$ прямая убывает и проходит через начало координат;
• г) при $$k<0,\, b<0$$ прямая убывает и пересекает ось $$Oy$$ ниже начала координат;
• д) при $$k=0,\, b<0$$ график — прямая $$y=b$$, параллельная оси $$Ox$$ и расположенная ниже неё.

2) Рассмотрим уравнение

$$\left(x+y\sqrt2\right)\left(x-y\sqrt2\right)=1.$$

Раскроем скобки:

$$x^2-2y^2=1.$$

Если $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то из одного решения можно получать новые. Например, при $$y=3$$ получаем:

$$x^2-2\cdot 3^2=1,$$

$$x^2=19,$$

то есть это не подходит. Возьмём другое значение $$y$$, например $$y=2$$:

$$x^2-2\cdot 2^2=1,$$

$$x^2=9,$$

$$x=3.$$

Значит, пара $$\left(3,2\right)$$ действительно является решением. Далее, если $$x^2-2y^2=1$$, то из тождества

$$\left(x+y\sqrt2\right)^n=a+b\sqrt2$$

и

$$\left(x-y\sqrt2\right)^n=a-b\sqrt2$$

получаем новую пару натуральных чисел $$\left(a,b\right)$$, которая тоже удовлетворяет уравнению. Поэтому таких пар бесконечно много.

Ответ

а) прямая возрастает, пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
б) прямая убывает, пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
в) прямая убывает и проходит через начало координат;
г) прямая убывает, пересекает ось $$Oy$$ ниже начала координат;
д) горизонтальная прямая ниже оси $$Ox$$.

Уравнение $$\left(x+y\sqrt2\right)\left(x-y\sqrt2\right)=1$$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.