Упр.1122 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)
а) k > 0, b > 0; г) k < 0, b < 0; б) k < 0, b > 0; д) k = 0, b < 0. в) k < 0, b = 0; 1 Пара чисел х = 3, у = 2 является решением уравнения (x + y корень 2)(x-y корень 2)=1. Покажите, что существует бесконечно много других пар натуральных чисел, удовлетворяющих этому уравнению.
1) Для функции $$y=kx+b$$ график — прямая. Число $$b$$ задаёт точку пересечения с осью $$Oy$$, а знак $$k$$ определяет наклон прямой:
- если $$k>0$$, прямая возрастает;
- если $$k<0$$, прямая убывает;
- если $$k=0$$, график — горизонтальная прямая $$y=b$$.
Тогда:
- а) при $$k>0,\, b>0$$ прямая возрастает и пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
- б) при $$k<0,\, b>0$$ прямая убывает и пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
- в) при $$k<0,\, b=0$$ прямая убывает и проходит через начало координат;
- г) при $$k<0,\, b<0$$ прямая убывает и пересекает ось $$Oy$$ ниже начала координат;
- д) при $$k=0,\, b<0$$ график — прямая $$y=b$$, параллельная оси $$Ox$$ и расположенная ниже неё.
2) Рассмотрим уравнение
$$\left(x+y\sqrt2\right)\left(x-y\sqrt2\right)=1.$$
Раскроем скобки:
$$x^2-2y^2=1.$$
Если $$x$$ и $$y$$ — натуральные числа, то из одного решения можно получать новые. Например, при $$y=3$$ получаем:
$$x^2-2\cdot 3^2=1,$$
$$x^2=19,$$
то есть это не подходит. Возьмём другое значение $$y$$, например $$y=2$$:
$$x^2-2\cdot 2^2=1,$$
$$x^2=9,$$
$$x=3.$$
Значит, пара $$\left(3,2\right)$$ действительно является решением. Далее, если $$x^2-2y^2=1$$, то из тождества
$$\left(x+y\sqrt2\right)^n=a+b\sqrt2$$
и
$$\left(x-y\sqrt2\right)^n=a-b\sqrt2$$
получаем новую пару натуральных чисел $$\left(a,b\right)$$, которая тоже удовлетворяет уравнению. Поэтому таких пар бесконечно много.
Ответ
а) прямая возрастает, пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
б) прямая убывает, пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
в) прямая убывает и проходит через начало координат;
г) прямая убывает, пересекает ось $$Oy$$ ниже начала координат;
д) горизонтальная прямая ниже оси $$Ox$$.
Уравнение $$\left(x+y\sqrt2\right)\left(x-y\sqrt2\right)=1$$ имеет бесконечно много решений в натуральных числах.
