Упр.1121 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) k > 0; б) k < 0; в) k = 0? Докажите, что сумма, разность, произведение и частное чисел вида а + b корень 2, где а и b — рациональные числа, могут быть представлены в таком же виде.

Пусть два числа имеют вид $$a+b\sqrt{2}$$ и $$c+d\sqrt{2}$$, где $$a,b,c,d$$ — рациональные числа.

1) Сумма:

$$ (a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})=(a+c)+(b+d)\sqrt{2}. $$

Так как $$a+c$$ и $$b+d$$ — рациональные числа, то сумма имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

2) Разность:

$$ (a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})=(a-c)+(b-d)\sqrt{2}. $$

Это снова число вида $$A+B\sqrt{2}$$.

3) Произведение:

$$ (a+b\sqrt{2})(c+d\sqrt{2})=ac+ad\sqrt{2}+bc\sqrt{2}+2bd $$

$$ =(ac+2bd)+(ad+bc)\sqrt{2}. $$

Значит, произведение также имеет вид $$A+B\sqrt{2}$$.

4) Частное: рассмотрим

$$ \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}. $$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение $$c-d\sqrt{2}$$:

$$ \frac{a+b\sqrt{2}}{c+d\sqrt{2}}= \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}. $$

Тогда

$$ \frac{(a+b\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})}{(c+d\sqrt{2})(c-d\sqrt{2})} = \frac{ac-2bd+(bc-ad)\sqrt{2}}{c^2-2d^2}. $$

Если $$c+d\sqrt{2}\neq 0$$, то знаменатель не равен нулю, и получаем число вида $$A+B\sqrt{2}$$.

Следовательно, сумма, разность, произведение и частное чисел вида $$a+b\sqrt{2}$$ снова могут быть представлены в таком же виде.

Ответ

Сумма, разность, произведение и частное (при ненулевом знаменателе) чисел вида $$a+b\sqrt{2}$$ снова имеют вид $$A+B\sqrt{2}$$, где $$A$$ и $$B$$ — рациональные числа.