Упр.1117 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) возрастающими; б) убывающими? Представьте многочлен х8 + х4 +1 в виде произведения четырёх многочленов ненулевой степени.

Для линейной функции $$y=kx+b$$:

• если $$k>0$$, то функция возрастает;
• если $$k<0$$, то функция убывает.

Определим знак коэффициента при $$x$$:

• $$y=8x-5$$ — возрастающая;
• $$y=-3x+11$$ — убывающая;
• $$y=-49x-100$$ — убывающая;
• $$y=x+1$$ — возрастающая;
• $$y=1-x$$ — убывающая.

Теперь разложим многочлен $$x^8+x^4+1$$ на произведение четырёх многочленов ненулевой степени:

$$ x^8+x^4+1=(x^8+2x^4+1)-x^4=(x^4+1)^2-x^4 $$
$$ =(x^4+1-x^2)(x^4+1+x^2) $$
$$ =\bigl((x^2+1)^2-3x^2\bigr)\bigl((x^2+1)^2-x^2\bigr) $$
$$ =(x^2+1-\sqrt{3}\,x)(x^2+1+\sqrt{3}\,x)(x^2+1-x)(x^2+1+x) $$

Все полученные множители имеют ненулевую степень.

Ответ

а) Возрастающие: $$y=8x-5$$, $$y=x+1$$.

б) Убывающие: $$y=-3x+11$$, $$y=-49x-100$$, $$y=1-x$$.

$$ x^8+x^4+1=(x^2+1-\sqrt{3}\,x)(x^2+1+\sqrt{3}\,x)(x^2+1-x)(x^2+1+x) $$