Упр.1116 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

а) f(x) = -0,7x + 350; б) f(x) = 30x + 10?
Начертите схематически график функции и проиллюстрируйте на нём установленные свойства.
Найдите все целые значения функции
у = корень (12 + 2 корень (35+ 2х -х2)) — корень (12 — 2 корень (35+ 2х — х2)), которые она принимает при целых х.

а) $$f(x)=-0{,}7x+350$$ — убывающая функция, так как $$k=-0{,}7<0$$.

Найдём, при каком $$x$$ функция обращается в нуль:

$$-0{,}7x+350=0$$
$$0{,}7x=350$$
$$x=500$$

Значит,

$$f(x)>0 \text{ при } x<500,$$

$$f(x)<0 \text{ при } x>500.$$

б) $$f(x)=30x+10$$ — возрастающая функция, так как $$k=30>0$$.

Найдём нуль функции:

$$30x+10=0$$
$$30x=-10$$
$$x=-\frac{1}{3}$$

Следовательно,

$$f(x)>0 \text{ при } x>-\frac{1}{3},$$

$$f(x)<0 \text{ при } x<-\frac{1}{3}.$$

2) Рассмотрим функцию

$$y=\sqrt{12+2\sqrt{35+2x-x^2}}-\sqrt{12-2\sqrt{35+2x-x^2}}.$$

Обозначим

$$t=\sqrt{35+2x-x^2}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{12+2t}-\sqrt{12-2t}.$$

Возведём в квадрат:

$$ y^2=(\sqrt{12+2t}-\sqrt{12-2t})^2 $$

$$ y^2=12+2t-2\sqrt{(12+2t)(12-2t)}+12-2t $$

$$ y^2=24-2\sqrt{144-4t^2} $$

$$ y^2=24-4\sqrt{36-t^2} $$

Так как $$t^2=35+2x-x^2,$$ получаем

$$ y^2=24-4\sqrt{36-(35+2x-x^2)} $$

$$ y^2=24-4\sqrt{1-2x+x^2} $$

$$ y^2=24-4\sqrt{(x-1)^2} $$

$$ y^2=24-4|x-1| $$

Отсюда

$$ y=\sqrt{24-4|x-1|}=2\sqrt{6-|x-1|} $$

Так как $$y\ge 0,$$ то целые значения функции определяются из условия

$$6-|x-1|=0,1,2,3,4,5,6.$$

Тогда

$$y=2\sqrt{6-|x-1|}$$

принимает целые значения только при

$$6-|x-1|=0,\ 1,\ 4.$$

Получаем:

$$6-|x-1|=0 \Rightarrow y=0,$$

$$6-|x-1|=1 \Rightarrow y=2,$$

$$6-|x-1|=4 \Rightarrow y=4.$$

Значит, все целые значения функции: $$0, 2, 4.$$

Ответ

а) $$f(x)=0$$ при $$x=500$$; $$f(x)>0$$ при $$x<500$$; $$f(x)<0$$ при $$x>500$$.

б) $$f(x)=0$$ при $$x=-\frac{1}{3}$$; $$f(x)>0$$ при $$x>-\frac{1}{3}$$; $$f(x)<0$$ при $$x<-\frac{1}{3}$$.

2) $$0, 2, 4.$$