Упр.1115 ГДЗ Макарычев Миндюк 8 класс (Алгебра)

Найдите целые значения х, при которых функция
у = корень (20+ 2 корень (91+6x-x2)) — корень (20 — 2 корень (91 + 6х — х2)) принимает целые значения.

а) Для функции $$y=1{,}6x$$ удобно взять две точки: при $$x=0$$ получаем $$y=0$$, при $$x=5$$ получаем $$y=8$$. Через точки $$ (0;0) $$ и $$ (5;8) $$ проводим прямую.

Свойства функции $$y=kx$$ при $$k>0$$:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$E(y)=\mathbb{R}$$;
• $$y=0$$ при $$x=0$$;
• $$y<0$$ при $$x<0$$, $$y>0$$ при $$x>0$$;
• функция возрастает.

б) Для функции $$y=-0{,}4x$$ возьмём точки: при $$x=0$$ получаем $$y=0$$, при $$x=5$$ получаем $$y=-2$$. Через точки $$ (0;0) $$ и $$ (5;-2) $$ проводим прямую.

Свойства функции $$y=kx$$ при $$k<0$$:

• $$D(y)=\mathbb{R}$$;
• $$E(y)=\mathbb{R}$$;
• $$y=0$$ при $$x=0$$;
• $$y>0$$ при $$x<0$$, $$y<0$$ при $$x>0$$;
• функция убывает.

Найдём целые значения $$x$$, при которых

$$y=\sqrt{20+2\sqrt{91+6x-x^2}}-\sqrt{20-2\sqrt{91+6x-x^2}}$$

принимает целые значения.

Обозначим

$$a=\sqrt{91+6x-x^2}.$$

Тогда

$$y=\sqrt{20+2a}-\sqrt{20-2a}.$$

Возведём в квадрат:

$$ \begin{aligned} y^2&=(\sqrt{20+2a}-\sqrt{20-2a})^2\\ &=20+2a+20-2a-2\sqrt{(20+2a)(20-2a)}\\ &=40-2\sqrt{400-4a^2}. \end{aligned} $$

Так как $$a^2=91+6x-x^2$$, то

$$ \begin{aligned} y^2&=40-2\sqrt{400-4(91+6x-x^2)}\\ &=40-2\sqrt{36-24x+4x^2}\\ &=40-2\sqrt{4(x-3)^2}\\ &=40-4|x-3|. \end{aligned} $$

Значит,

$$y=\sqrt{40-4|x-3|}=2\sqrt{10-|x-3|}.$$

Чтобы $$y$$ было целым, нужно, чтобы $$10-|x-3|$$ было полным квадратом:

$$10-|x-3|\in\{0,1,4,9\}.$$

Рассмотрим все случаи:

• $$10-|x-3|=0 \Rightarrow |x-3|=10 \Rightarrow x=13,\,-7$$;
• $$10-|x-3|=1 \Rightarrow |x-3|=9 \Rightarrow x=12,\,-6$$;
• $$10-|x-3|=4 \Rightarrow |x-3|=6 \Rightarrow x=9,\,-3$$;
• $$10-|x-3|=9 \Rightarrow |x-3|=1 \Rightarrow x=4,\,2$$.

Все найденные значения подходят.

Ответ

а) Прямая через точки $$ (0;0) $$ и $$ (5;8) $$; свойства: $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=\mathbb{R}$$, $$y=0$$ при $$x=0$$, при $$k>0$$ функция возрастает, $$y<0$$ при $$x<0$$, $$y>0$$ при $$x>0$$.

б) Прямая через точки $$ (0;0) $$ и $$ (5;-2) $$; свойства: $$D(y)=\mathbb{R}$$, $$E(y)=\mathbb{R}$$, $$y=0$$ при $$x=0$$, при $$k<0$$ функция убывает, $$y>0$$ при $$x<0$$, $$y<0$$ при $$x>0$$.

$$x=-7,\,-6,\,-3,\,2,\,4,\,9,\,12,\,13.$$